A | B | C | D | E | F | G | H | CH | I | J | K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
Homomorfismus (v lineární algebře někdy také prostě morfismus) je zobrazení z jedné algebraické struktury do jiné stejného typu, které zachovává veškerou důležitou strukturu.
Každý typ algebraické struktury má svůj typ homomorfismu (mluvíme o grupovém homomorfismu, okruhovém apod.).
Obecně je homomorfismus zobrazení mezi dvěma algebraickými strukturami stejného typu takové, že pro každou definovanou operaci a pro všechna v platí
- .
Typy homomorfismů
- izomorfismus je bijektivní homomorfismus (prostý a na).
- monomorfismus je homomorfismus který je odstranitelný vlevo, tedy pro všechna zobrazení : . V kontextu algebrických struktur, je ekvivalentní s tím, že je prosté.
- epimorfismus je homomorfismus který je odstranitelný vpravo, tedy pro všechna zobrazení : . V kontextu algebrických struktur, je ekvivalentní s tím, že je na.
- endomorfismus je homomorfismus z objektu do sebe sama.
- automorfismus je endomorfismus, který je také izomorfismem.
Příklad
Mějme Z grupu celých čísel a Zn množinu všech celých čísel od 0 do n-1 s operacemi modulo n.
Pak zobrazení f: Z → Z4 : f(x) = 2x mod 4 (které zobrazí lichá čísla na číslo 2 a sudá na 0) je homomorfismus, protože f(x+y) = f(x) + f(y). Například f(3+5) = f(8) = 0 = 2 + 2 = f(3) + f(5). V grupě Z4 totiž platí 2 + 2 = 0.
Naopak zobrazení f(x) = 1 + ( 2x mod 4 ) , které zobrazí sudá čísla na 1 a lichá čísla na 3, homomorfismus není, protože f(0) + f(0) = 2, ale f(0+0) = 1.
Zobecnění v univerzální algebře
Mnoho faktů o homomorfismech není třeba dokazovat pro každou matematickou strukturu zvlášť (zvlášť pro grupy, vektorové prostory, svaz apod.), protože prostředky univerzální algebry umožňují je dokázat zároveň pro širokou třídu struktur. Příkladem jsou věty o izomorfismu.
Jádro homomorfismu
Jádro homomorfismu f (značené Ker f) popisuje, které dvojice prvků homomorfismu se zobrazí na tentýž prvek.
Ve strukturách s binární operací, které mají zaručenu existenci neutrálního a inverzního prvku, je obvyklé tuto informaci reprezentovat tak, že jádrem homomorfismu rozumíme podstrukturu tvořenou všemi prvky, které se zobrazí na neutrální prvek. V takových strukturách pak platí, že f(x) = f(y) právě když y-x Ker f.
Příklad:
- Máme-li f: Z6 → Z6 : f(x) = 2x mod 6, pak Ker f = {0,3}
- Jiným příkladem je zobrazení z třírozměrného do dvourozměrného vektorového prostoru, které každý bod svisle promítne do vodorovné roviny procházející počátkem. (Lze si to představit jako zobrazení, které každé kuličce v prostoru přiřadí její stín na vodní hladině, pokud je slunce přesně svisle nad námi.) Jádrem takového zobrazení je svislá přímka procházející počátkem.
Tento přístup nelze ale použít pro struktury, které výše uvedenou podmínku nesplňují. Například svaz má dvě binární operace, monoid či grupoid sice mají jednu, ale není zaručena existence opačného prvku, některé signatury nemají žádnou binární operaci apod.
Proto se jádro homomorfismu definuje výše uvedených způsobem v teorii grup, okruhů lineárních prostorů apod., ale častěji se používá obecnější definice, která má smysl pro širokou třídu algebraických struktur:
- Jádrem homomorfismu f z A do B rozumíme binární relaci ~ na A takovou, že x~y právě když f(x) = f(y)
Podle této definice jádro homomorfismu
- f: Z6 → Z6 : f(x) = 2x mod 6
obsahuje dvanáct uspořádaných dvojic:
- Ker f = {
- (0,0), (0,3), (3,0) , (3,3) ,
- (1,1), (1,4), (4,1) , (4,4) ,
- (2,2), (2,5), (5,2) , (5,5) }
- Ker f = {
Kongruence a faktoralgebry
Jádro každého homomorfismu je kongruencí na A a proto definuje faktoralgebru A / Ker f, která je podle první věty o izomorfismu izomorfní s oborem hodnot f.
Odkazy
Související články
Externí odkazy
- Slovníkové heslo homomorfismus ve Wikislovníku
- Homomorfismus v encyklopedii MathWorld (anglicky)
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.
Antény
Chemické zdroje elektriny
Chladenie v elektrotechnike
Elektrická sústava automobilu
Elektrická trakcia
Elektrické prístroje
Elektrické súčiastky
Elektrické spotrebiče
Elektrické stroje
Čítanie (elektrotechnika)
Činný výkon
Štatistická dynamika
Živý vodič
Admitancia
Antiparalelné zapojenie
Asynchrónny motor
Blúdivý prúd
Bočník (elektrotechnika)
Diak (polovodičový prvok)
Displej s kvapalnými kryštálmi
Elektrická inštalácia
Elektrická rezonancia
Elektrická sila
Elektrická vodivosť
Elektrické zariadenie
Elektrický obvod
Elektrický zvonec
Elektroenergetika
Elektromer
Elektrometer
Elektromobil
Elektromotor
Elektromotorické napätie
Elektrotechnický náučný slovník
Elektrotechnika
Elektrotechnológia
Fázor
Faradayova klietka
Frekvencia (fyzika)
Graetzov mostík
Impedancia
Indukčnosť
Induktancia
Istič
Izolácia (elektrotechnika)
Izolant
Jadro vodiča
Jednobran
Jednosmerný prúd
Joulovo teplo
Katóda
Koaxiálny kábel
Kompenzácia účinníka
Konduktometria
Konektor (elektrotechnika)
Korónový výboj
Lanko (elektrotechnika)
Leptanie
Logické hradlo
Magnetická susceptibilita
Magnetizácia (veličina)
Merný elektrický odpor
Mobilné zariadenie
Napájací zdroj
Napäťový chránič
Napäťový násobič
Nortonova veta
Odpínač
Odpojovač
OLED
Olovený akumulátor
Paralelné zapojenie
Peltierov článok
Plošná hustota elektrického prúdu
Poistka (elektrotechnika)
Posuvný prúd
Prúdový chránič
Prenosové médium
Prieletový klystrón
Primárny elektrochemický článok
Reaktancia
Rekuperácia (dopravný prostriedok)
Relé
Reproduktorová výhybka
Rezistancia
Rozhranie (interface)
Sériové zapojenie
Seebeckov jav
Sekundárny elektrochemický článok
Settopbox
Skrat
Sonar
Spínač
Spínaný zdroj
Straty v mikropásikových vedeniach
Striedavý prúd
Stupeň ochrany krytom
Svetelná výbojka
Symetrizačný člen
Technická normalizácia
Tepelné relé
Tepelne vodivostný detektor
Termočlánok
Théveninova veta
Transformátor
Transformátor s fázovou reguláciou
Trojfázová sústava
Tuhá fáza (elektronika)
Tyratrón
Usmerňovač (elektrotechnika)
Uzemnenie
Uzol (vodiče)
Vírivý prúd
Výbojka
Varistor
Ventilátor
Vodič (elektrotechnika)
Voltov stĺp
Vstavaný systém
Zásuvka (elektrotechnika)
Zdroj (elektrotechnika)
Zisk antény
Text je dostupný za podmienok Creative
Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších
podmienok.
Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky
použitia.
www.astronomia.sk | www.biologia.sk | www.botanika.sk | www.dejiny.sk | www.economy.sk | www.elektrotechnika.sk | www.estetika.sk | www.farmakologia.sk | www.filozofia.sk | Fyzika | www.futurologia.sk | www.genetika.sk | www.chemia.sk | www.lingvistika.sk | www.politologia.sk | www.psychologia.sk | www.sexuologia.sk | www.sociologia.sk | www.veda.sk I www.zoologia.sk