Kongruence je algebraický pojem označující ekvivalenci na algebře, která je slučitelná se všemi operacemi na této algebře (tedy například, pokud jsou tři páry prvků ekvivalentní a výsledky nějaké operace na těchto párech jsou také ekvivalentní, pak existuje pro tyto páry kongruence).

Formální definice

Předpokládejme, že ${\displaystyle (X,O_{1},O_{2},\ldots ,O_{n})\,\!}$ je algebraická struktura s množinou prvků ${\displaystyle X\,\!}$ a operacemi ${\displaystyle O_{1},O_{2},\ldots ,O_{n}\,\!}$, operace ${\displaystyle O_{i}\,\!}$ je ${\displaystyle m_{i}\,\!}$-ární.

Binární relaci ${\displaystyle R\,\!}$ na X nazveme kongruence, pokud je to ekvivalence a pokud pro každou z vyjmenovaných operací a každé prvky ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m_{i}},b_{1},b_{2},\ldots ,b_{m_{i}}\in X}$ platí

${\displaystyle a_{1}\sim _{R}b_{1},a_{2}\sim _{R}b_{2},\ldots ,a_{m_{i}}\sim _{R}b_{m_{i}}\implies O_{i}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m_{i}})\sim _{R}O_{i}(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{m_{i}})\,\!}$

Příklad

Chceme ověřit, zda na grupě celých čísel je relace "${\textstyle \scriptstyle x-y}$ je násobkem deseti" kongruencí. Grupu je možné chápat jako strukturu s jednou operací nebo se třemi. Obě konvence jsou ekvivalentní, použijme tedy tu první: jedinou operací je sčítání (proto ${\displaystyle \scriptstyle n=1}$). ${\displaystyle \scriptstyle O_{1}(a,b)}$ je jen jiný zápis pro a+b. Tato operace je binární (potřebuje dva "vstupy", takže ${\displaystyle \scriptstyle m_{i}=2}$).

Zvolíme-li a₁ = 3, a₂ = 5, b₁ = 13, b₂ = 45, pak podle definice kongruence musí platit 3+5 ~ 13 + 45, což platí (8 a 58 se liší o násobek deseti).

Tím jsme ověřili jen konkrétní příklad; důkaz platný pro všechny hodnoty ${\displaystyle a_{i}}$ a ${\displaystyle b_{i}}$ lze provést takto: Pro obě i platí ${\displaystyle \scriptstyle a_{i}\sim _{R}b_{i}\,\!}$, čili existují celá čísla ${\displaystyle \scriptstyle k_{1},k_{2}\,\!}$ tak, že ${\displaystyle \scriptstyle b_{i}=a_{i}+10.k_{i}}$. Potom platí: ${\displaystyle \scriptstyle O_{1}(a_{1},a_{2})-O_{1}(b_{1},b_{2})=a_{1}+a_{2}-(a_{1}+10.k_{1})-(a_{2}+10.k_{2})=-10.(k_{1}+k_{2})}$, což je násobek deseti, takže ${\displaystyle \scriptstyle O_{1}(a_{1},a_{2})\sim _{R}O_{1}(b_{1},b_{2})}$

Kongruence zbytkových tříd

Nejznámějším příkladem kongruence je rozklad množiny všech celých čísel na zbytkové třídy po dělení číslem ${\displaystyle n\geq 2\,\!}$, tj. relace, která je zavedena vztahem:

${\displaystyle a\equiv b{\pmod {n}}\Leftrightarrow n\mid (a-b)\,\!}$

Jinými slovy: dvě čísla jsou ekvivalentní (modulo n), pokud mají stejný zbytek po dělení číslem ${\displaystyle n}$Zdroj:https://cs.wikipedia.org?pojem=Kongruence
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.