A | B | C | D | E | F | G | H | CH | I | J | K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
Zbytek po dělení nebo také modulo je početní operace související s operací celočíselného dělení. Například 7 / 3 = 2 se zbytkem 1. Také můžeme říci, že 7 modulo 3 = 1, zkráceně 7 mod 3 = 1. Je-li zbytek po dělení a/n nula, říkáme že a je dělitelné n.
Záporná čísla
Protože není intuitivně jasné, jak by se měla operace zbytku po dělení chovat u záporných čísel, používají se přinejmenším dvě definice této operace:
- „Matematická varianta“:
- Závorky zde označují nejbližší celé číslo menší než podíl a:m. Pro tuto variantu platí:
- ale nastávají případy, kdy
- např. .
- Je-li kladné, pak pro všechna .
- „Symetrická varianta“:
- kde označuje směrem k nule zaokrouhlený podíl . Pro tuto variantu platí
- ,
- ale nastávají případy, kdy
- , např. .
- zde má stejné znaménko jako , pokud není .
V programovacích jazycích je častěji implementována druhá varianta. Pokud je a současně , dávají obě varianty stejné výsledky.
Použití
V praktickém životě se modulo někdy používá jako prostředek pro kontrolu úplnosti a správnosti. Například většina rodných čísel osob narozených po roce 1953 je dělitelných číslem 11.[1]
Operace modulo se hojně využívá v programování a návrhu algoritmů, např. při testu sudosti čísla nebo výpočtu dne v týdnu. Také se často používá při generování kontrolních součtů, které bývají součástí komunikačních protokolů.
Je také důležitou součástí algebry, kde se při konstrukci konečných celočíselných algeber využívá modulární aritmetika.
Operace modulo
Některé kalkulačky mají tlačítko s funkcí mod
a mnoho programovacích jazyků má funkci mod
nebo přímo operátor mod
nebo %
. Zápis operace modulo může být
a % n
nebo
a mod n
nebo
mod(a, n)
Modulo a číselné soustavy
Platí, že v číselné soustavě o radixu N představuje zbytek po dělení číslem N, N2, N3, N4, …, Ni, … poslední jednu, dvě, tři, čtyři, …, respektive číslic z dělence.
Toho se někdy využívá ve výpočetní technice (kde se v drtivé většině případů používá binární soustava). V případech, kdy je třeba zjistit zbytek po dělení dvěma, čtyřmi, osmi, …, 2i, … se místo (na výpočetní výkon náročnější) operace dělení provádí bitový součin (též bitová konjunkce, operace AND), kde druhým operandem je .
Příklad
- 170 mod 64
Zbytek po dělení je 42. Druhý operand, 64, je 26, lze tedy použít bitový (binární) součin s číslem 26-1. Pokud bychom tedy spočítali 170 and 63, dostaneme:
číslo binárně | číslo dekadicky | |
---|---|---|
10101010 | 170 | |
and | 00111111 | 63 |
= | 00101010 | 42 |
Kongruence modulo n
O celých číslech říkáme, že jsou kongruentní modulo n (pro celé číslo n větší než jedna), pokud jejich rozdíl je násobkem n. Tato relace tvoří ekvivalenci na množině celých čísel. Například:
- Čísla 13 a 513 jsou kongruentní modulo 100, neboť jejich rozdíl je 500.
- Čísla 11 a -9 jsou kongruentní modulo 10, protože jejich rozdíl je 20
Aritmetika modulo n
Pro celé číslo n větší než jedna aritmetikou modulo n rozumíme množinu celých čísel od 0 do n−1 s operacemi sčítání, odčítání, násobení a dělení definovanými tak, aby výsledek operace byl kongruentní modulo n s výsledkem v klasické algebře.
Příklad: V aritmetice modulo 7 je 5×6 = 2. V obvyklém násobení je 5×6 = 30. Jediné číslo z množiny 0 až 6, které je kongruentní s 30, je číslo 2 (protože 30−4×7 = 2). Výsledek operace je vždy takto jednoznačný.
Jiná (ale ekvivalentní) definice aritmetiky modulo n je, že se jedná o rozklad (tedy množina všech tříd ekvivalence) množiny celých čísel podle relace "a je kongruentní s b modulo n".
Aritmetika modulo n s operací sčítání tvoří komutativní grupu, se sčítáním a násobením tvoří okruh. Je-li n prvočíslo, tvoří dokonce těleso.
Reference
Související články
Externí odkazy
- do-skoly.cz - Online kalkulátor pro výpočet zbytku po dělení 2 reálných čísel včetně zkoušky správnosti výsledku.
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.
Antény
Chemické zdroje elektriny
Chladenie v elektrotechnike
Elektrická sústava automobilu
Elektrická trakcia
Elektrické prístroje
Elektrické súčiastky
Elektrické spotrebiče
Elektrické stroje
Čítanie (elektrotechnika)
Činný výkon
Štatistická dynamika
Živý vodič
Admitancia
Antiparalelné zapojenie
Asynchrónny motor
Blúdivý prúd
Bočník (elektrotechnika)
Diak (polovodičový prvok)
Displej s kvapalnými kryštálmi
Elektrická inštalácia
Elektrická rezonancia
Elektrická sila
Elektrická vodivosť
Elektrické zariadenie
Elektrický obvod
Elektrický zvonec
Elektroenergetika
Elektromer
Elektrometer
Elektromobil
Elektromotor
Elektromotorické napätie
Elektrotechnický náučný slovník
Elektrotechnika
Elektrotechnológia
Fázor
Faradayova klietka
Frekvencia (fyzika)
Graetzov mostík
Impedancia
Indukčnosť
Induktancia
Istič
Izolácia (elektrotechnika)
Izolant
Jadro vodiča
Jednobran
Jednosmerný prúd
Joulovo teplo
Katóda
Koaxiálny kábel
Kompenzácia účinníka
Konduktometria
Konektor (elektrotechnika)
Korónový výboj
Lanko (elektrotechnika)
Leptanie
Logické hradlo
Magnetická susceptibilita
Magnetizácia (veličina)
Merný elektrický odpor
Mobilné zariadenie
Napájací zdroj
Napäťový chránič
Napäťový násobič
Nortonova veta
Odpínač
Odpojovač
OLED
Olovený akumulátor
Paralelné zapojenie
Peltierov článok
Plošná hustota elektrického prúdu
Poistka (elektrotechnika)
Posuvný prúd
Prúdový chránič
Prenosové médium
Prieletový klystrón
Primárny elektrochemický článok
Reaktancia
Rekuperácia (dopravný prostriedok)
Relé
Reproduktorová výhybka
Rezistancia
Rozhranie (interface)
Sériové zapojenie
Seebeckov jav
Sekundárny elektrochemický článok
Settopbox
Skrat
Sonar
Spínač
Spínaný zdroj
Straty v mikropásikových vedeniach
Striedavý prúd
Stupeň ochrany krytom
Svetelná výbojka
Symetrizačný člen
Technická normalizácia
Tepelné relé
Tepelne vodivostný detektor
Termočlánok
Théveninova veta
Transformátor
Transformátor s fázovou reguláciou
Trojfázová sústava
Tuhá fáza (elektronika)
Tyratrón
Usmerňovač (elektrotechnika)
Uzemnenie
Uzol (vodiče)
Vírivý prúd
Výbojka
Varistor
Ventilátor
Vodič (elektrotechnika)
Voltov stĺp
Vstavaný systém
Zásuvka (elektrotechnika)
Zdroj (elektrotechnika)
Zisk antény
Text je dostupný za podmienok Creative
Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších
podmienok.
Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky
použitia.
www.astronomia.sk | www.biologia.sk | www.botanika.sk | www.dejiny.sk | www.economy.sk | www.elektrotechnika.sk | www.estetika.sk | www.farmakologia.sk | www.filozofia.sk | Fyzika | www.futurologia.sk | www.genetika.sk | www.chemia.sk | www.lingvistika.sk | www.politologia.sk | www.psychologia.sk | www.sexuologia.sk | www.sociologia.sk | www.veda.sk I www.zoologia.sk