Moment setrvačnosti je skalární fyzikální veličina, která vyjadřuje míru setrvačnosti tělesa při otáčivém pohybu. Její velikost závisí na rozložení hmoty v tělese vzhledem k ose otáčení. Body (části) tělesa s větší hmotností a umístěné dál od osy mají větší moment setrvačnosti. Kvadratický moment průřezu se někdy také nazývá moment setrvačnosti a to i přesto, že není mírou setrvačnosti tělesa.

Značení

• Symbol veličiny: J , někdy také I
• Jednotka momentu setrvačnosti SI: kilogram krát metr na druhou, značka jednotky: kg·m². V případě, že se počítá Kvadratický moment průřezu, tak má jednotku m⁴.

Výpočet

Diskrétní rozložení hmoty

Při otáčivém pohybu soustavy hmotných bodů kolem nehybné osy opisují jednotlivé hmotné body kružnice, jejichž středy leží na ose otáčení. Úhlová rychlost ${\displaystyle \omega }$ všech bodů je stejná.

Celkovou kinetickou energii určíme jako součet kinetických energií všech ${\displaystyle n}$ hmotných bodů soustavy, tzn.

${\displaystyle E_{k}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{2}}m_{i}v_{i}^{2}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{2}}m_{i}r_{i}^{2}\omega ^{2}}$,

kde ${\displaystyle m_{i}}$ je hmotnost ${\displaystyle i}$-tého hmotného bodu, ${\displaystyle v_{i}}$ je velikost jeho rychlosti, ${\displaystyle r_{i}}$ je jeho (kolmá) vzdálenost od osy otáčení a bylo využito toho, že rychlost bodu při kruhovém pohybu je přímo úměrná vzdálenosti bodu od osy otáčení, tzn. ${\displaystyle v=\omega r}$. Předchozí vztah lze upravit na tvar

${\displaystyle E_{k}={\frac {1}{2}}\omega ^{2}\sum _{i=1}^{n}m_{i}r_{i}^{2}={\frac {1}{2}}J\omega ^{2}}$,

kde veličina ${\displaystyle J}$ představuje moment setrvačnosti tělesa k ose otáčení. Moment setrvačnosti soustavy hmotných bodů je tak definován vztahem

${\displaystyle J=m_{1}r_{1}^{2}+m_{2}r_{2}^{2}+\cdots +m_{n}r_{n}^{2}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}r_{i}^{2}}$

Spojité rozložení hmoty

V mechanice kontinua (tedy v případě spojitě rozložené hmoty) lze k určení momentu setrvačnosti použít vztah

${\displaystyle I=\int _{M}r^{2}\mathrm {d} m}$,

kde integrace se provádí přes celé těleso o celkové hmotnosti ${\displaystyle M}$.

Je-li ${\displaystyle \rho }$ hustota tělesa, pak ${\displaystyle \mathrm {d} m=\rho \mathrm {d} V}$, kde ${\displaystyle V}$ je objem tělesa a moment setrvačnosti lze vyjádřit ve tvaru

${\displaystyle I=\int _{V}r^{2}\rho \mathrm {d} V}$

Integruje se přes objem celého tělesa ${\displaystyle V}$.

V případě, že je těleso homogenní, tzn. ${\displaystyle \rho ={\mbox{konst.}}}$, je možné předchozí vztah zjednodušit

${\displaystyle I=\rho \int _{V}r^{2}\mathrm {d} V}$

Poloměr setrvačnosti

Moment setrvačnosti je také možné zapsat jako součin celkové hmotnosti tělesa ${\displaystyle M}$ a čtverce jisté střední vzdálenosti ${\displaystyle R}$, ve které by musela být soustředěna veškerá hmotnost tělesa, aby moment setrvačnosti byl roven momentu celého tělesa.

${\displaystyle J=MR^{2}}$

Vzdálenost ${\displaystyle R={\sqrt {\frac {J}{M}}}}$ se nazývá poloměr setrvačnosti nebo gyrační poloměr.

Momenty setrvačnosti některých těles

Pro praktické použití je vhodná znalost některých často používaných momentů setrvačnosti.

• Moment setrvačnosti tyče délky ${\displaystyle l}$ a hmotnosti ${\displaystyle m}$ vzhledem k ose procházející středem délky tyče, kolmo k její délce.

${\displaystyle J={\frac {1}{12}}ml^{2}}$

• Moment setrvačnosti tyče délky ${\displaystyle l}$ a hmotnosti ${\displaystyle m}$ vzhledem k ose procházející koncem tyče kolmo k její délce.

${\displaystyle J={\frac {1}{3}}ml^{2}}$

• Moment setrvačnosti koule o poloměru ${\displaystyle r}$ a hmotnosti ${\displaystyle m}$ vzhledem k ose procházející středem koule.

${\displaystyle J=\frac{2}{}}$Zdroj:https://cs.wikipedia.org?pojem=Moment_setrvačnosti
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.

---