Rozdělení pravděpodobnosti (někdy také distribuce pravděpodobnosti) náhodné veličiny je pravidlo, kterým se každému jevu popisovanému touto veličinou přiřazuje určitá pravděpodobnost. Rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny vznikne, pokud je každé hodnotě diskrétní náhodné veličiny nebo intervalu hodnot spojité náhodné veličiny přiřazena pravděpodobnost.

Rozdělení pravděpodobnosti lze také chápat jako zobrazení, které každému intervalu (nebo sjednocení intervalů) možných hodnot náhodné veličiny přiřazuje určité reálné číslo, které charakterizuje jeho pravděpodobnost.

Obecná formální definice

Nechť ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ je pravděpodobnostní prostor, ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ je Borelova σ-algebra, ${\displaystyle (E,{\mathcal {B}})}$ je měřitelný prostor a nechť ${\displaystyle X:\Omega \to E}$ je náhodná veličina. Pak rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny ${\displaystyle X}$ je funkce ${\displaystyle P_{X}:{\mathcal {B}}\to \langle 0,1\rangle }$ definovaná vztahem ${\displaystyle P_{X}(I)=P=P\left(\{\omega \in \Omega |X(\omega )\in I\}\right)}$.

Obvykle bude ${\displaystyle E=\mathbb {R} }$. Platí, že ${\displaystyle P_{X}}$ je pravděpodobnostní míra na ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, oproti tomu původní ${\displaystyle P}$ je míra na nějaké obecné σ-algebře ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$. Pojem rozdělení pravděpodobnosti nám tedy umožňuje jednotným způsobem počítat kvantitativní charakteristiky různých náhodných veličin ${\displaystyle X}$, aniž bychom museli zohledňovat původní prostor ${\displaystyle \Omega }$.

Tato definice zahrnuje diskrétní i spojitá rozdělení, ale je ve své obecnosti užitečná spíše jen v teorii. Pro praktické výpočty reprezentujeme pro zjednodušení kalkulací rozdělení pravděpodobnosti hustotou pravděpodobnosti resp. pravděpodobnostní funkcí, distribuční funkcí nebo kvantilovou funkcí, které v principu nesou stejnou informaci jako výše uvedená definice a jejich použití je více specializované.

Použití pojmu pravděpodobnostního rozdělení oproti pojmu náhodné veličiny vede ke ztrátě informace o možných jevech s nulovou pravděpodobností; tento teoretický problém je ale v praktických aplikacích typicky bezvýznamný.

Rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny

Pravděpodobnost, že diskrétní náhodná veličina ${\displaystyle X}$ bude mít po provedení náhodného pokusu hodnotu ${\displaystyle x}$, značíme ${\displaystyle P(X=x)}$, ${\displaystyle P}$ nebo stručně ${\displaystyle P(x)}$.

Výsledkem jednoho náhodného pokusu je to, že náhodná veličina bude mít právě jednu hodnotu. Všechny hodnoty definičního oboru náhodné veličiny tedy představují úplný systém neslučitelných jevů, což znamená, že součet pravděpodobností všech možných hodnot ${\displaystyle x}$ diskrétní náhodné proměnné ${\displaystyle X}$ je roven 1, tzn.

${\displaystyle \sum _{x}P=1}$

Pravděpodobnostní funkce

Rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny se tedy vyjádří tak, že se určí pravděpodobnost ${\displaystyle P(x)}$ pro všechna ${\displaystyle x}$ definičního oboru veličiny ${\displaystyle X}$. Pravděpodobnosti jednotlivých hodnot ${\displaystyle x}$ jsou tedy vyjádřeny funkcí ${\displaystyle P(x)}$, která se nazývá pravděpodobnostní funkce.

Hodnoty pravděpodobností funkce vyjadřujeme obvykle tabulkou, např.

x	P(x)
${\displaystyle x_{1}}$	${\displaystyle P(x_{1})}$
${\displaystyle x_{2}}$	${\displaystyle P(x_{2})}$
…	…
${\displaystyle x_{n}}$	${\displaystyle P(x_{n})}$

Také se používá vyjádření ve formě grafu (viz obrázek). V některých případech lze také použít vyjádření pomocí matematického vzorce.

Znalost pravděpodobnostní funkce lze použít k výpočtu pravděpodobnosti. Například pravděpodobnost, že náhodná veličina ${\displaystyle X}$ leží mezi hodnotami ${\displaystyle x_{1}}$ a ${\displaystyle x_{2}}$, se určí jako

${\displaystyle P=\underset{x=x_1}{\overset{x_2}{\sum <!--\; \sum \; -->}}}$Zdroj:https://cs.wikipedia.org?pojem=Rozdělení_pravděpodobnosti
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.

---