Kombinačné číslo (iné názvy: binomické číslo, binomický koeficient)^[1] je matematická funkcia, ktorá udáva počet kombinácií k-tej triedy z n-prvkovej množiny, tzn. počet spôsobov, ako vybrať k-prvkovú podmnožinu z n-prvkovej množiny (k a n sú prirodzené čísla). Kombinačné číslo sa značí v tvare ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ a číta sa „n nad k“. Alternatívne značenia sú ${\displaystyle C(n,k)}$, ${\displaystyle C_{k}(n)}$, ${\displaystyle _{n}C_{k}}$ alebo ${\displaystyle C_{n}^{k}}$.^[2][3]

S využitím faktoriálu je možné kombinačné číslo definovať nasledovne:^[3]

${\displaystyle {n \choose k}=\left\{{\begin{matrix}{\frac {n!}{k!(n-k)!}}\,&&{\mbox{ pre }}n\geq k\geq 0;\\0\,&&{\mbox{inak}}\qquad \qquad \end{matrix}}\right.}$

Platí rovnosť:^[2]

${\displaystyle 1={0 \choose 0}={n \choose 0}={n \choose n}.}$

Kombinačné číslo sa používa hlavne v kombinatorike, veľmi dôležité je využitie v binomickej vete (pričom je tu označované ako binomický koeficient) alebo v Leibnizovom pravidle.

Vlastnosti

Pre prirodzené čísla n a k, kde ${\displaystyle 0\leqq k\leqq n}$ a ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ platí^[2][3]

${\displaystyle {n \choose k}={n \choose {n-k}},}$

${\displaystyle {{n} \choose {1}}=n,}$

${\displaystyle {{n} \choose {0}}={{n} \choose {n}}=1,}$

${\displaystyle {n \choose {k+1}}={n \choose k}{\frac {n-k}{k+1}},}$

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n}{k}}{\binom {n-1}{k-1}},}$

${\displaystyle {n \choose {k}}={{n-1} \choose {k-1}}+{{n-1} \choose {k}},}$

${\displaystyle {{n+1} \choose {k}}={n \choose {k-1}}+{n \choose k},}$

${\displaystyle \sum _{i=k}^{n}{i \choose {k}}={n+1 \choose {k+1}},}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{{k+i} \choose {i}}={k+n+1 \choose n},}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose {i}}=2^{n},}$

${\displaystyle \underset{i=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(-<!--\; -\; -->1{)}^{}}$Zdroj:
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.

---