A | B | C | D | E | F | G | H | CH | I | J | K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
Harmonická analýza je odvětví matematiky zabývající se reprezentacemi funkcí nebo signálů jako superpozicí základních vlnění a studiem zobecnění pojmů Fourierova řada a Fourierovy transformace (tj. rozšířený tvar Fourierovy analýzy). V posledních dvou stoletích se harmonická analýza stala rozsáhlým oborem s aplikacemi v mnoha různých oblastech jako teorie čísel, teorie reprezentací, zpracování signálu, kvantová mechanika, teorie přílivu a neurověda.
Termín „harmonický“ je odvozený ze starořeckého slova harmonikos znamenající „hudebně vzdělaný“.[1] Ve fyzikálních problémech vlastní hodnota se tímto slovem označují vlny, jejichž frekvence jsou celočíselnými násobky jiné, stejně jako u harmonických tónů v hudbě, ale termín byl oproti původnímu významu zobecněn.
Klasická Fourierova transformace na Rn je stále předmětem výzkumu, především Fourierova transformace na obecnějších objektech, např. na temperovaných distribucích. Určitá omezení na distribuci f se můžeme např. snažit přenést na Fourierovu transformaci distribuce f. Příkladem je Paleyova–Wienerova věta, z níž okamžitě plyne, že pokud f je nenulovou distribucí kompaktního nosiče (zahrnující funkce kompaktního nosiče), pak jeho Fourierova transformace nikdy nemá kompaktní nosič, což je základní tvar principu neurčitosti v harmonické analýze; viz také konvergence Fourierových řad.
Fourierovy řady lze pohodlně zkoumat v kontextu Hilbertových prostorů, což poskytuje spojení mezi harmonickou analýzou a funkcionální analýzou.
Aplikovaná harmonická analýza
Mnoho aplikací harmonické analýzy ve vědě a technice vychází z myšlenky nebo hypotézy, že určitý jev nebo signál je tvořen součtem dílčích oscilačních složek. Obvyklými a jednoduchými příklady jsou slapové jevy v oceánech a kmitající struny. Pak je často používaným přístupem zkusit systém popsat diferenciální rovnicí nebo soustavou rovnic, ze kterých lze předpovědět základní vlastnosti, jako jsou amplitudy, frekvence a fáze jednotlivých oscilačních složek. Konkrétní rovnice mohou být různé, ale teorie usiluje o takový výběr rovnic, aby reprezentovaly obecně použitelné principy.
Při experimentálním přístupu je nezbytné získat data, která příslušný jev přesně kvantifikují. Například při studiu slapových jevů je třeba získat vzorky hodnot hloubky vody jako funkce času v dostatečně krátkých intervalech, aby byly vidět všechny oscilace, a za dostatečně dlouhý časový interval, aby pokryly několik period oscilací. Při studiu kmitajících strun je obvyklé, že experimentátor získává tvar zvukové vlny vzorkované nejméně dvojnásobnou frekvencí, než je nejvyšší očekávaná frekvence a s trváním mnohanásobku periody nejnižší očekávané frekvence.
Horní z dvojice obrázků vpravo ukazuje průběh zvukové vlny vytvořené záznamem zvuku prázdné struny A basové kytary. Je patrné, že základní frekvence je 55 Hz; průběh je (přibližně) periodický, ale mnohem složitější než jednoduchá sinusová (harmonická) vlna, což ukazuje na přítomnost zvuků dalších frekvencí. Různé vlnové složky přispívající k výslednému zvuku lze odhalit aplikací techniky matematické analýzy známé jako Fourierova transformace, jejíž výsledek je zobrazen na spodním obrázku. Na obrázku je patrný první výrazný vrchol na frekvenci 55 Hz, existují však další maxima na 110 Hz, 165 Hz a dalších frekvencích odpovídajících celočíselným násobkům 55 Hz. V tomto případě je frekvence 55 Hz základní frekvence vibrací struny a její celočíselné násobky jsou vyšší harmonické složky.
Abstraktní harmonická analýza
K nejmodernějším odvětvím harmonické analýzy s kořeny v polovině dvacátého století je analýza na topologických grupách. Hlavními motivacemi jsou různé Fourierovy transformace, které lze zobecnit na transformaci funkcí definovaných na Hausdorffových lokálně kompaktních topologických grupách.
Teorie abelových lokálně kompaktních grup se nazývá Pontryaginova dualita.
Harmonická analýza studuje vlastnosti této duality a Fourierových transformací, a snaží se tyto vlastnosti aplikovat na další případy, například na neabelovské Lieovy grupy.
Pro obecné neabelovské lokálně kompaktní grupy má harmonická analýza těsnou souvislost s teorií reprezentací unitárních grup. Pro kompaktní grupy vysvětluje Peter–Weylova věta, jak lze dostat harmonické složky výběrem jedné irreducibilní reprezentace z každé třídy ekvivalence reprezentací. Tato volba harmonických složek využívá některé užitečné vlastnosti klasické Fourierovy transformace přenesením nesoucí konvoluce na bodové součiny a demonstruje jistý způsob chápání podkladových grupových struktur. Viz také Nekomutativní harmonická analýza.
Pro grupy, které nejsou ani abelovy ani kompaktní, neexistuje v současnosti žádná obecná uspokojivá teorie („uspokojivou“ je myšleno aspoň tak silná jako Plancherelova věta). Bylo však analyzováno mnoho speciálních případů, například speciální lineární grupa SLn. V tomto případě hrají klíčovou roli grupy reprezentací nekonečné dimenze .
Jiná odvětví
- Studium vlastních vektorů a vlastních čísel Laplaceova operátoru na doménách, varietách a (v menší míře) grafech je také považováno za odvětví harmonické analýzy. Viz např. „Je možné slyšet tvar bubnu?“[2].
- Harmonická analýza na eukleidovských prostorech pracuje s vlastnostmi Fourierových transformací na Rn, které nemají analogie na obecných grupách. Například s faktem, že Fourierova transformace je rotačně invariantní. Dekompozice Fourierovy transformace na jeho radiální a sférickou komponentu vede k tématům jako jsou Besselovy funkce a Sférické harmonické funkce.
- Harmonická analýza na válcových doménách se zabývá zobecňujícími vlastnostmi Hardyho prostorů vyšších dimenzí.
Odkazy
Reference
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Harmonic analysis na anglické Wikipedii.
- ↑ Online Etymology Dictionary . . Dostupné online.
- ↑ TERRAS, Audrey. Harmonic Analysis on Symmetric Spaces-Euclidean Space, the Sphere, and the Poincaré Upper Half-Plane. 2. vyd. New York, NY: Springer, 2013. Dostupné online. ISBN 978-1461479710.
Související články
Externí odkazy
- Obrázky, zvuky či videa k tématu harmonická analýza na Wikimedia Commons
Literatura
- Elias Stein and Guido Weiss, Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, 1971. ISBN 0-691-08078-X
- Elias Stein with Timothy S. Murphy, Harmonic Analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals, Princeton University Press, 1993.
- Elias Stein, Topics in Harmonic Analysis Related to the Littlewood-Paley Theory, Princeton University Press, 1970.
- Yitzhak Katznelson, An introduction to harmonic analysis, Third edition. Cambridge University Press, 2004. ISBN 0-521-83829-0; ISBN 0-521-54359-2
- Terence Tao, Fourier Transform. (Zavádí dekompozici funkcí na liché a sudé složky pomocí harmonické dekompozice na ℤ₂.)
- Jurij Iljič Ljubič (Yurii I. Lyubich): Introduction to the Theory of Banach Representations of Groups. Překlad ruského vydání z roku 1985 (Charkov, Ukrajina). Birkhäuser Verlag. 1988.
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.
Antény
Chemické zdroje elektriny
Chladenie v elektrotechnike
Elektrická sústava automobilu
Elektrická trakcia
Elektrické prístroje
Elektrické súčiastky
Elektrické spotrebiče
Elektrické stroje
Čítanie (elektrotechnika)
Činný výkon
Štatistická dynamika
Živý vodič
Admitancia
Antiparalelné zapojenie
Asynchrónny motor
Blúdivý prúd
Bočník (elektrotechnika)
Diak (polovodičový prvok)
Displej s kvapalnými kryštálmi
Elektrická inštalácia
Elektrická rezonancia
Elektrická sila
Elektrická vodivosť
Elektrické zariadenie
Elektrický obvod
Elektrický zvonec
Elektroenergetika
Elektromer
Elektrometer
Elektromobil
Elektromotor
Elektromotorické napätie
Elektrotechnický náučný slovník
Elektrotechnika
Elektrotechnológia
Fázor
Faradayova klietka
Frekvencia (fyzika)
Graetzov mostík
Impedancia
Indukčnosť
Induktancia
Istič
Izolácia (elektrotechnika)
Izolant
Jadro vodiča
Jednobran
Jednosmerný prúd
Joulovo teplo
Katóda
Koaxiálny kábel
Kompenzácia účinníka
Konduktometria
Konektor (elektrotechnika)
Korónový výboj
Lanko (elektrotechnika)
Leptanie
Logické hradlo
Magnetická susceptibilita
Magnetizácia (veličina)
Merný elektrický odpor
Mobilné zariadenie
Napájací zdroj
Napäťový chránič
Napäťový násobič
Nortonova veta
Odpínač
Odpojovač
OLED
Olovený akumulátor
Paralelné zapojenie
Peltierov článok
Plošná hustota elektrického prúdu
Poistka (elektrotechnika)
Posuvný prúd
Prúdový chránič
Prenosové médium
Prieletový klystrón
Primárny elektrochemický článok
Reaktancia
Rekuperácia (dopravný prostriedok)
Relé
Reproduktorová výhybka
Rezistancia
Rozhranie (interface)
Sériové zapojenie
Seebeckov jav
Sekundárny elektrochemický článok
Settopbox
Skrat
Sonar
Spínač
Spínaný zdroj
Straty v mikropásikových vedeniach
Striedavý prúd
Stupeň ochrany krytom
Svetelná výbojka
Symetrizačný člen
Technická normalizácia
Tepelné relé
Tepelne vodivostný detektor
Termočlánok
Théveninova veta
Transformátor
Transformátor s fázovou reguláciou
Trojfázová sústava
Tuhá fáza (elektronika)
Tyratrón
Usmerňovač (elektrotechnika)
Uzemnenie
Uzol (vodiče)
Vírivý prúd
Výbojka
Varistor
Ventilátor
Vodič (elektrotechnika)
Voltov stĺp
Vstavaný systém
Zásuvka (elektrotechnika)
Zdroj (elektrotechnika)
Zisk antény
Text je dostupný za podmienok Creative
Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších
podmienok.
Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky
použitia.
www.astronomia.sk | www.biologia.sk | www.botanika.sk | www.dejiny.sk | www.economy.sk | www.elektrotechnika.sk | www.estetika.sk | www.farmakologia.sk | www.filozofia.sk | Fyzika | www.futurologia.sk | www.genetika.sk | www.chemia.sk | www.lingvistika.sk | www.politologia.sk | www.psychologia.sk | www.sexuologia.sk | www.sociologia.sk | www.veda.sk I www.zoologia.sk