Vektorový prostor je poněkud abstraktní pojem, který může být realizován prostřednictvím nejrůznějších matematických objektů. Abychom lépe pochopili strukturu každého takového vektorového prostoru a jejich vzájemné vztahy, je užitečné si zavést pojem dimenze vektorového prostoru (krátce jen dimenze neboli rozměr, angl. dimension). Zjednodušeně řečeno, dimenze označuje počet parametrů, kterými jsme schopni každý vektor daného vektorového prostoru jednoznačně popsat. Pokud například máme vektorový prostor všech uspořádaných dvojic čísel, tak nám k jednoznačnému popisu konkrétní dvojice stačí uvést její dvě složky. Neboli pro identifikaci každého prvku prostoru všech uspořádaných dvojic čísel máme dva parametry a dimenze tohoto prostoru je tedy dva. Podobně, dimenze prostoru všech uspořádaných trojic je tři atd. Ačkoli je v tomto příkladě určení počtu nutných parametrů snadné, nemusí tomu tak být v případě jiných vektorových prostorů.

Motivace

Dimenzi vektorového prostoru lze zavést pomocí pojmu lineární nezávislosti a to postupem, který si právě nastíníme. V dalším pro jednoduchost předpokládejme, že pracujeme s vektorovým prostorem ${\displaystyle \scriptstyle V}$ definovaným nad číselným tělesem ${\displaystyle \scriptstyle T}$. V každém netriviálním vektorovém prostoru ${\displaystyle \scriptstyle V}$ jsme schopni nalézt lineárně nezávislý soubor vektorů. Konkrétně řekněme, že jsme ve ${\displaystyle \scriptstyle V}$ nalezli ${\displaystyle \scriptstyle n}$ vektorů ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}}$, které jsou lineárně nezávislé, kde ${\displaystyle \scriptstyle n}$ je přirozené číslo větší nebo rovno jedné. Ptejme se nyní, zda jsme schopni ve stejném prostoru ${\displaystyle \scriptstyle V}$ nalézt ${\displaystyle \scriptstyle n+1}$ lineárně nezávislých vektorů.

• Pokud ne, tj. pokud každý soubor ${\displaystyle \scriptstyle n+1}$ vektorů z ${\displaystyle \scriptstyle V}$ je lineárně závislý, tak říkáme, že vektorový prostor ${\displaystyle \scriptstyle V}$ má dimenzi rovnou ${\displaystyle \scriptstyle n}$. V takovém případě lze totiž každý vektor prostoru ${\displaystyle \scriptstyle V}$ popsat pomocí ${\displaystyle \scriptstyle n}$ čísel. Důvod je následující: s využitím vektorů ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}}$ jsme schopni vyjádřit jakýkoliv vektor z prostoru ${\displaystyle \scriptstyle V}$ jako jejich lineární kombinaci. Kdyby to nebyla pravda, tak by musel existovat vektor ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{0}}$, který jako lineární kombinaci vektorů ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}}$ vyjádřit nelze. To by ale znamenalo, že jsou vektory ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{0},{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}}$ lineárně nezávislé, jak plyne z definice lineární nezávislosti. Obdrželi jsme tak ${\displaystyle \scriptstyle (n+1)}$-členný soubor vektorů z ${\displaystyle \scriptstyle V}$, který je lineárně nezávislý. To je ale ve sporu s tím, že právě uvažujeme prostor ${\displaystyle \scriptstyle V}$ v němž více než ${\displaystyle \scriptstyle n}$-členné soubory lineárně nezávislých vektorů nejsou. Dokázali jsme tak, že každý vektor ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}}$ ve vektorovém prostoru ${\displaystyle \scriptstyle V}$ lze vyjádřit jako lineární kombinaci ${\displaystyle \scriptstyle \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}{\vec {x}}_{i}}$. K jednoznačnému určení vektoru ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}\in V}$ nám tak stačí znát ${\displaystyle \scriptstyle n}$ čísel ${\displaystyle \scriptstyle \alpha _{i}}$, kde ${\displaystyle \scriptstyle i\in \{1,\ldots ,n\}}$.

• Pokud ano, tj. pokud jsme ve ${\displaystyle \scriptstyle V}$ schopni nalézt ${\displaystyle \scriptstyle n+1}$ lineárně nezávislých vektorů, tak se ptejme dále, zda ve ${\displaystyle \scriptstyle V}$ existuje ${\displaystyle \scriptstyle (n+2)}$-členný lineárně nezávislý soubor vektorů. Pokud ne, tak řekneme, že prostor ${\displaystyle \scriptstyle V}$ má dimenzi ${\displaystyle \scriptstyle n+1}$. Pokud ano, pokračujeme analogicky dále. Jestliže se po určité době na některém čísle ${\displaystyle \scriptstyle m}$ zastavíme, tj. všechny ${\displaystyle (m}$Zdroj:https://cs.wikipedia.org?pojem=Dimenze_vektorového_prostoru
  Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.

  ---