A | B | C | D | E | F | G | H | CH | I | J | K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
Šťastné číslo (anglicky happy number) je v matematice definováno následujícím způsobem: vezme se libovolné kladné celé číslo, nahradí se součtem druhých mocnin svých číslic a tento proces se opakuje, dokud se nedojde k číslu jedna (kde se proces zastaví) nebo dokud se v posloupnosti neobjeví některé číslo dvakrát (posloupnost se zacyklí). Ta čísla, která tímto způsobem skončí jedničkou, se nazývají šťastná, ostatní pak nešťastná.
Formálněji řečeno: mějme číslo a definujme posloupnost , , ... kde je součet druhých mocnin čísel vyjádřených číslicemi čísla . Poté je šťastné právě tehdy, když existuje i takové, že .
Pokud je nějaké číslo šťastné, pak také všechny členy jemu příslušné posloupnosti jsou také šťastnými čísly.
Příklad
Například 7 je šťastné číslo a přísluší mu tato posloupnost:
- 72 = 49
- 42 + 92 = 97
- 92 + 72 = 130
- 12 + 32 + 02 = 10
- 12 + 02 = 1
číslo 1663 je také šťastné číslo:
- 12 + 62 + 62 + 32 = 82
- 82 + 22 = 68
- 62 + 82 = 100
- 12 + 02 + 02 = 1
i číslo 13, obecně pokládané za nešťastné (například triskaidekafobiky), je dle této definice šťastné číslo:
- 12 + 32 = 10
- 12 + 02 = 1
Chování posloupnosti
Když není šťastné, pak se jeho posloupnost nedostane k 1. Namísto toho se zacyklí (například pro číslo 4):
- 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4, ...
Pokud má číslic, poté součet druhých mocnin jimi vyjádřených čísel může být nejvýše (to nastane, pokud jsou všechny číslice devítky).
Pro a více je
tedy každé číslo větší než 1000 se definovaným postupem zmenšuje. V číslech menších než 1000 je číslo, jehož součet druhých mocnin jeho cifer je největší, 999, které dá výsledek 3 krát 81, což je 243.
- V rozmezí 100 až 243 největší hodnotu, a to 163, dává číslo 199.
- V rozmezí 100 až 163 největší hodnotu, a to 107, dává číslo 159.
- V rozmezí 100 až 107 největší hodnotu, a to 50, dává číslo 107.
U čísel v intervalech , , a je vidět, že každé číslo větší než 99 se tímto procesem rychle zmenšuje. Tedy bez ohledu na to, s kterým číslem se začne, nakonec vznikne číslo menší než 100. Každé číslo z intervalu je buď šťastné nebo se zacyklí.
Šťastná prvočísla
Šťastné prvočíslo je takové šťastné číslo, které je zároveň prvočíslem. Šťastná prvočísla menší než 500 jsou:
- 7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139, 167, 193, 239, 263, 293, 313, 331, 367, 379, 383, 397, 409, 487 (Sekvence A035497 v OEIS).
Všechna čísla, a tedy i všechna prvočísla tvaru a pro n větší než 0 jsou šťastná. Je tomu tak proto, že:
- Všechna tato čísla mají nejméně 2 číslice.
- První číslicí je vždy 1.
- Poslední číslicí je vždy 3 nebo 9.
- Všechny další číslice jsou 0 (jejich druhá mocnina je taktéž 0, a tedy součet nijak neovlivní).
- Posloupnost při přidání 3 je: 12 + 32 = 10 → 12 = 1
- Posloupnost při přidání 9 je: 12 + 92 = 82 → 64 + 4 = 68 → 100 → 1
Palindromické prvočíslo 10150006 + 7426247×1075000 + 1, které má 150007 číslic, je taktéž šťastné číslo, neboť obsahuje mnoho nul, které součet neovlivňují a zbylá čísla dávají , což je šťastné číslo. Toto prvočíslo bylo objeveno Paulem Joblingem v roce 2005.
Šťastná čísla v jiné než desítkové soustavě
Definice šťastných čísel je závislá na desítkové soustavě. Tuto definici lze rozšířit na ostatní číselné soustavy.
K vyznačení čísel v jiných soustavách je možné používat číslo v pravém dolním indexu, které představuje zvolenou soustavu. Například představuje číslo 4 ve dvojkové soustavě. V každé číselné soustavě existují šťastná čísla. Například čísla
jsou šťastná pro jakoukoliv číselnou soustavu .
Ze stejného důvodu jako výše se lze přesvědčit, že každé nešťastné číslo v číselné soustavě vede k zacyklení v číslech menších než . Využije se to, že když , pak součet druhých mocnin čísel vyjádřených číslicemi čísla v soustavě je menší nebo roven
- .
Lze dokázat, že tento výraz je vždy menší než . Z toho lze usoudit, že jakmile se posloupnost dostane do čísla menšího než , zůstane v tomto rozmezí, a musí se tedy zacyklit (neboť čísel menších než je jen konečně mnoho) či se dostat na 1.
Ve dvojkové soustavě jsou všechna čísla šťastná. Všechna čísla ve dvojkové soustavě menší než 10002 jsou totiž šťastná:
Dvojková soustava je tedy šťastná číselná soustava. Další takovou soustavou je soustava čtyřková.
Odkazy
Reference
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Happy number na anglické Wikipedii.
Externí odkazy
- (anglicky) Šťastné číslo v encyklopedii MathWorld Happy Number -- from Wolfram MathWorld.
- (anglicky) OEIS: A007770 – Happy numbers
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.
Antény
Chemické zdroje elektriny
Chladenie v elektrotechnike
Elektrická sústava automobilu
Elektrická trakcia
Elektrické prístroje
Elektrické súčiastky
Elektrické spotrebiče
Elektrické stroje
Čítanie (elektrotechnika)
Činný výkon
Štatistická dynamika
Živý vodič
Admitancia
Antiparalelné zapojenie
Asynchrónny motor
Blúdivý prúd
Bočník (elektrotechnika)
Diak (polovodičový prvok)
Displej s kvapalnými kryštálmi
Elektrická inštalácia
Elektrická rezonancia
Elektrická sila
Elektrická vodivosť
Elektrické zariadenie
Elektrický obvod
Elektrický zvonec
Elektroenergetika
Elektromer
Elektrometer
Elektromobil
Elektromotor
Elektromotorické napätie
Elektrotechnický náučný slovník
Elektrotechnika
Elektrotechnológia
Fázor
Faradayova klietka
Frekvencia (fyzika)
Graetzov mostík
Impedancia
Indukčnosť
Induktancia
Istič
Izolácia (elektrotechnika)
Izolant
Jadro vodiča
Jednobran
Jednosmerný prúd
Joulovo teplo
Katóda
Koaxiálny kábel
Kompenzácia účinníka
Konduktometria
Konektor (elektrotechnika)
Korónový výboj
Lanko (elektrotechnika)
Leptanie
Logické hradlo
Magnetická susceptibilita
Magnetizácia (veličina)
Merný elektrický odpor
Mobilné zariadenie
Napájací zdroj
Napäťový chránič
Napäťový násobič
Nortonova veta
Odpínač
Odpojovač
OLED
Olovený akumulátor
Paralelné zapojenie
Peltierov článok
Plošná hustota elektrického prúdu
Poistka (elektrotechnika)
Posuvný prúd
Prúdový chránič
Prenosové médium
Prieletový klystrón
Primárny elektrochemický článok
Reaktancia
Rekuperácia (dopravný prostriedok)
Relé
Reproduktorová výhybka
Rezistancia
Rozhranie (interface)
Sériové zapojenie
Seebeckov jav
Sekundárny elektrochemický článok
Settopbox
Skrat
Sonar
Spínač
Spínaný zdroj
Straty v mikropásikových vedeniach
Striedavý prúd
Stupeň ochrany krytom
Svetelná výbojka
Symetrizačný člen
Technická normalizácia
Tepelné relé
Tepelne vodivostný detektor
Termočlánok
Théveninova veta
Transformátor
Transformátor s fázovou reguláciou
Trojfázová sústava
Tuhá fáza (elektronika)
Tyratrón
Usmerňovač (elektrotechnika)
Uzemnenie
Uzol (vodiče)
Vírivý prúd
Výbojka
Varistor
Ventilátor
Vodič (elektrotechnika)
Voltov stĺp
Vstavaný systém
Zásuvka (elektrotechnika)
Zdroj (elektrotechnika)
Zisk antény
Text je dostupný za podmienok Creative
Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších
podmienok.
Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky
použitia.
www.astronomia.sk | www.biologia.sk | www.botanika.sk | www.dejiny.sk | www.economy.sk | www.elektrotechnika.sk | www.estetika.sk | www.farmakologia.sk | www.filozofia.sk | Fyzika | www.futurologia.sk | www.genetika.sk | www.chemia.sk | www.lingvistika.sk | www.politologia.sk | www.psychologia.sk | www.sexuologia.sk | www.sociologia.sk | www.veda.sk I www.zoologia.sk