A | B | C | D | E | F | G | H | CH | I | J | K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
Booleova algebra je algebraická struktura se dvěma binárními a jednou unární operací, která zobecňuje vlastnosti množinových a logických operací. Je nazvána podle britského matematika George Boolea. Mimo oblast algebry se pojem Booleova algebra zužuje na dvouprvkovou Booleovu algebru[1] a používá se pro reprezentaci pravdivostních hodnot a logických funkcí. Klíčový význam mají Booleovy algebry také pro metodu forsingu.
Formální definice
Booleova algebra je definována jako distributivní komplementární svaz.[2]
Jinou ekvivalentní definicí je následující. Booleova algebra je šestice (A, ∧, ∨, −, 0, 1), kde A je neprázdná množina, 0 ∈ A je nejmenší, 1 ∈ A největší prvek, − je unární operace (doplněk neboli komplement) a ∧, ∨ jsou binární operace (průsek a spojení) na A, splňující následující axiomy.
Komutativita: Distributivita: Neutralita 0 a 1: Komplementarita:
Někdy se uvádí ještě axiom nedegenerovanosti: . Při jeho zavedení pak triviální svaz tvořený jednoprvkovou množinou není Booleovou algebrou.
Vlastnosti
Pro Booleovu algebru A a každé x, y, z ∈ A platí:
- asociativita: (x ∨ y) ∨ z = x ∨ (y ∨ z), (x ∧ y) ∧ z = x ∧ (y ∧ z)
- absorpce: x ∨ (x ∧ y) = x, x ∧ (x ∨ y) = x
- agresivita nuly: x ∧ 0 = 0
- agresivita jedničky: x ∨ 1 = 1
- idempotence: x ∨ x = x, x ∧ x = x
- absorpce negace: x ∨ (−x ∧ y) = x ∨ y, x ∧ (−x ∨ y) = x ∧ y
- dvojitá negace: −(−x) = x
- De Morganovy zákony: −x ∧ −y = −(x ∨ y), −x ∨ −y = −(x ∧ y)
- 0 a 1 jsou vzájemně komplementární: −0 = 1, −1 = 0
Příklady
Dvouprvková algebra je algebra nad množinou A = {0, 1}, kde operace jsou dány přirozeným způsobem, tj. 0 a 1 jsou vzájemně komplementární a protože platí 0 < 1, průsek (infimum) je menší z operandů, spojení (supremum) je větší z operandů:
0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 | 0 |
1 | 0 | 1 | 0 |
1 | 1 | 1 | 1 |
Nejjednodušší Booleova algebra obsahuje pouze jeden prvek, neboli 0 = 1 (zde nejde o spor, nýbrž o dvojí značení jednoho prvku). Všechny operace dávají stejný výsledek (jiné zde ani neexistují), proto se nazývá triviální. Tato algebra samozřejmě může existovat jedině tehdy, když nepoužijeme axiom nedegenerovanosti.
Prakticky používanými příklady Booleových algeber jsou algebry výroků (či obecněji Lindenbaumovy algebry formulí) a množinové algebry.
- U algeber výroků v dvouhodnotové logice je A = {nepravda, pravda} a operace odpovídají konjunkci, disjunkci a negaci; pokud ztotožníme 0 = nepravda, 1 = pravda, algebra přejde na výše uvedenou dvouprvkovou algebru nad množinou A = {0, 1}
- Lindenbaumovy algebry jsou definovány nad množinou A všech tříd ekvivalence formulí daného jazyka a operace jsou stejné jako u algeber výroků.
- U množinových algeber je algebra definována nad množinou všech podmnožin (potenční množinou) libovolné množiny S, tzn. A = 2S, nejmenším prvkem 0 je prázdná množina, největším prvkem 1 je celá množina S a operace odpovídají průniku, sjednocení a doplňku do množiny S.
Odkazy
Reference
- ↑ Aplikovaná matematika, s. 187.
- ↑ Aplikovaná matematika, s. 184.
Literatura
- kolektiv autorů, 1977. Aplikovaná matematika. Redakce Kutinová, Blanka; Nečas, Jiří. Praha: SNTL – Nakladatelství technické literatury, n.p.. 1318 s. (Oborové encyklopedie).
- ROBERT, Faure; HEURGONOVÁ, Edith. Uspořádání a Booleovy algebry. Praha: Academia, 1984.
Související články
Externí odkazy
- Obrázky, zvuky či videa k tématu Booleova algebra na Wikimedia Commons
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.
Antény
Chemické zdroje elektriny
Chladenie v elektrotechnike
Elektrická sústava automobilu
Elektrická trakcia
Elektrické prístroje
Elektrické súčiastky
Elektrické spotrebiče
Elektrické stroje
Čítanie (elektrotechnika)
Činný výkon
Štatistická dynamika
Živý vodič
Admitancia
Antiparalelné zapojenie
Asynchrónny motor
Blúdivý prúd
Bočník (elektrotechnika)
Diak (polovodičový prvok)
Displej s kvapalnými kryštálmi
Elektrická inštalácia
Elektrická rezonancia
Elektrická sila
Elektrická vodivosť
Elektrické zariadenie
Elektrický obvod
Elektrický zvonec
Elektroenergetika
Elektromer
Elektrometer
Elektromobil
Elektromotor
Elektromotorické napätie
Elektrotechnický náučný slovník
Elektrotechnika
Elektrotechnológia
Fázor
Faradayova klietka
Frekvencia (fyzika)
Graetzov mostík
Impedancia
Indukčnosť
Induktancia
Istič
Izolácia (elektrotechnika)
Izolant
Jadro vodiča
Jednobran
Jednosmerný prúd
Joulovo teplo
Katóda
Koaxiálny kábel
Kompenzácia účinníka
Konduktometria
Konektor (elektrotechnika)
Korónový výboj
Lanko (elektrotechnika)
Leptanie
Logické hradlo
Magnetická susceptibilita
Magnetizácia (veličina)
Merný elektrický odpor
Mobilné zariadenie
Napájací zdroj
Napäťový chránič
Napäťový násobič
Nortonova veta
Odpínač
Odpojovač
OLED
Olovený akumulátor
Paralelné zapojenie
Peltierov článok
Plošná hustota elektrického prúdu
Poistka (elektrotechnika)
Posuvný prúd
Prúdový chránič
Prenosové médium
Prieletový klystrón
Primárny elektrochemický článok
Reaktancia
Rekuperácia (dopravný prostriedok)
Relé
Reproduktorová výhybka
Rezistancia
Rozhranie (interface)
Sériové zapojenie
Seebeckov jav
Sekundárny elektrochemický článok
Settopbox
Skrat
Sonar
Spínač
Spínaný zdroj
Straty v mikropásikových vedeniach
Striedavý prúd
Stupeň ochrany krytom
Svetelná výbojka
Symetrizačný člen
Technická normalizácia
Tepelné relé
Tepelne vodivostný detektor
Termočlánok
Théveninova veta
Transformátor
Transformátor s fázovou reguláciou
Trojfázová sústava
Tuhá fáza (elektronika)
Tyratrón
Usmerňovač (elektrotechnika)
Uzemnenie
Uzol (vodiče)
Vírivý prúd
Výbojka
Varistor
Ventilátor
Vodič (elektrotechnika)
Voltov stĺp
Vstavaný systém
Zásuvka (elektrotechnika)
Zdroj (elektrotechnika)
Zisk antény
Text je dostupný za podmienok Creative
Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších
podmienok.
Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky
použitia.
www.astronomia.sk | www.biologia.sk | www.botanika.sk | www.dejiny.sk | www.economy.sk | www.elektrotechnika.sk | www.estetika.sk | www.farmakologia.sk | www.filozofia.sk | Fyzika | www.futurologia.sk | www.genetika.sk | www.chemia.sk | www.lingvistika.sk | www.politologia.sk | www.psychologia.sk | www.sexuologia.sk | www.sociologia.sk | www.veda.sk I www.zoologia.sk