Zlomek (či lomený výraz) označuje v matematice podíl dvou výrazů (tj. zlomek naznačuje dělení). Zlomek obsahuje zlomkovou čáru, nad kterou je čitatel a pod ní je jmenovatel. Jakékoliv racionální číslo lze napsat jako zlomek, jehož čitatel i jmenovatel jsou celá čísla. Zápis pomocí zlomků je vhodný pro provádění elementárních úprav složitějších výrazů. Zlomky jsou běžně využívány v hovorové řeči (polovina, čtvrtka, dvě pětiny apod.) a starší označení pro různá množství bylo voleno tak, aby mohlo být dále děleno (např. tucet, mandel, kopa apod.), tj. aby mohly být používány jejich zlomkové části.

Hlavní pojmy

Každý zápis zlomku je založen na části celku (například polovina jako ¹⁄₂, tři čtvrtiny jako ³⁄₄, dvě třetiny jako ²⁄₃).

Zlomek se zapisuje ve tvaru ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ nebo ^a⁄_b. Výraz ${\displaystyle a}$ označujeme jako čitatel (nad zlomkovou čárou) a výraz ${\displaystyle b}$ označujeme jako jmenovatel (pod zlomkovou čárou). Aby měl zlomek smysl, nesmí být jmenovatel roven nule (v oboru reálných čísel nelze dělit nulou).

Pokud jsou v čitateli i ve jmenovateli zlomku další zlomky (např. ${\displaystyle {\frac {\frac {a}{b}}{\frac {c}{d}}}}$), pak takový jej označujeme jako složený zlomek.

Pokud je čitatel menší než jmenovatel (zlomek je menší než jedna) označujeme tento zlomek jako pravý zlomek. Nepravý zlomek je větší než jedna a lze ho převést na smíšené číslo (například ⁵⁄₄ = 1+¹⁄₄).

Smíšené číslo se skládá z celého čísla a pravého zlomku, například jeden a půl lze zapsat jako 1+¹⁄₂.

Počítání se zlomky

Zlomky se dají sčítat, odčítat, násobit a dělit, dokonce i umocňovat. Chceme-li vynásobit dva zlomky, vynásobíme mezi sebou oba čitatele a oba jmenovatele. Součin čitatelům napíšeme nad zlomkovou čáru a součin jmenovatelů pod ní.

Abychom mohli sečíst nebo odečíst dva zlomky, musí mít stejného jmenovatele (například ¹⁄₂ + ³⁄₂ = ⁴⁄₂ = 2). V případě nutnosti lze jeden nebo oba zlomky převést na společného jmenovatele (¹⁄₂ + ¹⁄₃ = ³⁄₆ + ²⁄₆ = ⁵⁄₆).

Pravidla

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\pm {\frac {c}{d}}={\frac {ad\pm bc}{bd}}}$

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}}$

Pokud navíc ${\displaystyle c\neq 0}$, pak

${\displaystyle {\frac {\frac {a}{b}}{\frac {c}{d}}}={\frac {ad}{bc}}}$

${\displaystyle -\left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {-a}{b}}}$

${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}}$

Dva zlomky ${\displaystyle a \over b}$ a ${\displaystyle c \over d}$ mají stejnou hodnotu tehdy a jen tehdy, když ${\displaystyle a\cdot d=b\cdot c}$ (tzn. jejich podíl je 1).

Pokud máme zlomek ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$, přičemž čitatel lze vyjádřit jako ${\displaystyle a=c\cdot r}$ a jmenovatel jako ${\displaystyle b=c\cdot s}$ (tedy ${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c\cdot r}{c\cdot s}}}$ ), pak lze zlomek ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ vyjádřit v ekvivalentním tvaru jako

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {r}{s}}}$

Tento postup je označován jako krácení zlomku. Hodnoty obou zlomků jsou ekvivalentní a lze je libovolně zaměňovat. Platí tedy např. ${\displaystyle {\frac {4}{8}}={\frac {2}{4}}={\frac {1}{2}}}$. Je vidět, že vzájemně ekvivalentních zlomků existuje nekonečné množství, např. ${\displaystyle {\frac {1}{2}}={\frac {n}{2n}}}$ pro libovolné přirozené číslo n. O zlomku řekneme, že je v základním tvaru, pokud jeho čitatel a jmenovatel nemají žádného společného dělitele - tento tvar je naopak pro každou třídu zlomků o stejné hodnotě jedinečný.

Podaří-li se zkrátit zlomek na tvar ${\displaystyle {\frac {n}{1}}}$, pak jej pokládáme roven přímo číslu n, tzn. ${\displaystyle {\frac {n}{1}}=n}$. Např. ${\displaystyle {\frac {4}{2}}={\frac {2}{1}}=2}$.

Při provádění složitějších operací na zlomky se zlomek ^a⁄_b chová jako ${\displaystyle a\cdot b^{-1}}$, takže například:

${\displaystyle \log \left({\frac {a}{b}}\right)=\log(a\cdot b^{-1})=\log a-\log b}$

Lomené výrazy

Smysl lomených výrazů (podmínky)

Lomené výrazy jsou výrazy zapsané ve tvaru zlomku a pracujeme s nimi podobně jako se zlomky. Žádný jmenovatel žádného zlomku nesmí být roven nule, musíme tedy u lomených výrazů vžy určit, kdy mají smysl(určit podmínky).

př. Určete, kdy má výraz ${\displaystyle {\frac {x-7}{x^{2}-4}}}$ smysl.

Výraz má smysl, pokud jmenovatel zlomku není roven 0. Tudíž ${\displaystyle x^{2}-4\neq 0\Rightarrow x\neq \pm 2}$

Krácení lomených výrazů

Lomené výrazy, stejně jako zlomky, můžeme krátit. Krátit lomený výraz znamená dělit čitatele i jmenovatele stejným výrazem.

př. Zkraťte lomený výraz. ${\displaystyle {\frac {3x^{2}-3xy}{3(x-y)^{2}}}}$

1) Musíme určit, kdy má daný výraz smysl. Výraz má smysl, pokud ${\displaystyle 3(x-<!--\; -\; -->y{)}^2}$Zdroj:https://cs.wikipedia.org?pojem=Zlomek
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.