Umocňování je matematická operace, která vyjadřuje opakované násobení. Umocňování je k násobení v podobném vztahu, v jakém je samo násobení ke sčítání. Umocňování slouží ke zkrácenému zápisu vícenásobného násobení:

${\displaystyle \underbrace {z\cdot z\cdot z\cdots z} _{n\operatorname {-kr{\acute {a}}t} }=z^{n}}$

V tomto vzorci se z označuje jako základ mocniny (mocněnec) a n se nazývá exponent (mocnitel). Výsledek je „n-tá mocnina čísla z“, „z na n-tou“. Například 3 · 3 · 3 · 3 = 81 je „tři na čtvrtou“, což zapisujeme 3⁴. Exponent může být obecně reálné, nebo dokonce komplexní číslo (viz #Definice).

Speciálním případem prázdného součinu je z⁰ = 1 (pro z ≠ 0, jinak viz #Nula na nultou). Pro nulový základ a kladný exponent (n > 0) pak platí 0ⁿ = 0.

Když z technických důvodů nelze psát exponent na horní pozici, používá se často zápis ve tvaru z^n, někdy také z**n.

Pomocí umocňování je definováno několik základních funkcí a posloupností: Mocninná funkce f(x) = a · xⁿ, exponenciální funkce f(x) = z^x, geometrická posloupnost a_n = zⁿ a funkce f(x) = x^x.

Inverzní operace k umocňování je odmocňování. Opakované umocňování je tetrace.

Definice

Mocnina s přirozeným exponentem (${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$) se tedy definuje jako opakované násobení, které lze zapsat rekurentně takto:

${\displaystyle z^{1}=z}$

${\displaystyle z^{n+1}=z^{n}\cdot z}$

Rekurentní vzorec lze obrátit a tak při nenulovém základu (${\displaystyle z\neq 0}$) tuto definici použít i pro ostatní celé exponenty (${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$):

${\displaystyle z^{n}={z^{n+1} \over z}}$

${\displaystyle z^{0}={z \over z}=1}$

${\displaystyle z^{-n}={1 \over z^{n}}=\left({1 \over z}\right)^{n}}$

Definici lze dále zobecnit pro racionální exponent s využitím odmocňování:

${\displaystyle z^{n \over m}={\sqrt{z^{n}}}}$

Zobecnění na celý obor reálných čísel (tzn. rozšíření definice o mocniny s iracionálními exponenty) se pak dosahuje dodefinováním pomocí limity:

${\displaystyle z^{n}=\lim _{x\to n \atop x\in \mathbb {Q} }z^{x}}$

Pro mocniny s komplexním základem ${\displaystyle z=a+bi=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )=r\cdot e^{i\varphi }}$, kde ${\displaystyle a,b,\varphi \in \mathbb {R} }$ a ${\displaystyle r\in \mathbb {R} _{0}^{+},}$ pak platí (viz Moivrovu větu)

${\displaystyle z^{n}\equiv (a+bi)^{n}=(r\cdot e^{i\varphi })^{n}=r^{n}\cdot e^{i\;n\varphi }=r^{n}\cdot .}$

Argument ${\displaystyle \varphi =\operatorname {Arg} z}$ má nutně skok, jehož polohu však lze zvolit. Volí se zpravidla ${\displaystyle \varphi }$ z intervalu ${\displaystyle \langle 0;2\pi )}$ nebo ${\displaystyle (-\pi ;\pi \rangle }$. Komplexní mocnina s neceločíselným exponentem je tedy obecně mnohoznačná funkce a není na celé komplexní rovině holomorfní.

Pokud je navíc komplexním číslem i exponent ${\displaystyle n}$, pak je mocnina dána jako

${\displaystyle z^{n}=e^{n\ln z}=e^{n(i\varphi +\ln r)}.}$

Alternativní definice

Užitečná definice z oblasti teorie množin říká, že pro množiny ${\displaystyle A,B}$ je ${\displaystyle A^{B}=\{f|f:B\rightarrow A\}}$ čili množina všech zobrazení množiny ${\displaystyle B}$ do množiny ${\displaystyle A}$, tedy takových zobrazení, která každému prvku z ${\displaystyle B}$ přiřazují právě jeden prvek z ${\displaystyle A}$. Jsou-li obě množiny konečné, pak počet takových zobrazení je ${\displaystyle \left|A^{B}\right|=|A|^{|B|}}$, přičemž klademe 0⁰ = 1 (viz #Nula na nultou). Příklad:

${\displaystyle \{0,1{\}}^{\{a,b\}}=\{\{a\mapsto <!--\; \mapsto \; -->0;b\mapsto <!--\; \mapsto \; -->0\},\{a\mapsto <!--\; \mapsto \; -->0;b\mapsto <!--\; \mapsto \; -->1\},\{a\mapsto <!--\; \mapsto \; -->1;b\mapsto <!--\; \mapsto \; -->0\},\{a\mapsto <!--\; \mapsto \; -->1;b}$Zdroj:https://cs.wikipedia.org?pojem=Mocnění
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.

---