V lineární algebře je diagonální matice čtvercová matice, ve které jsou všechny prvky mimo hlavní diagonálu nulové. Diagonální matice jsou určeny výhradně prvky na hlavní diagonále a tyto prvky mohou být i nulové.

U diagonálních matic se součin a inverze počítá snadněji než u obecných matic. Je-li lineární zobrazení reprezentováno na vektorovém prostoru konečné dimenze pomocí diagonální matice, pak vlastní čísla zobrazení jsou prvky na diagonále.

V geometrii lze diagonální matici použít jako matici škálování, protože příslušný součin vede ke změně měřítka ve směru jednotlivých os. Součin s tzv. skalární maticí vede k rovnoměrné změně měřítka.

Definice

Čtvercová matice ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}}$ řádu ${\displaystyle n}$ nad tělesem ${\displaystyle T}$ (obvykle jde o těleso reálných čísel ${\displaystyle \mathbb {R} }$)

${\displaystyle {\boldsymbol {D}}={\begin{pmatrix}d_{11}&0&\cdots &0\\0&d_{22}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&d_{nn}\end{pmatrix}}}$ ,

jejíž prvky ${\displaystyle d_{ij}\in T}$ s ${\displaystyle i\neq j}$ jsou všechny rovny nule, se nazývá diagonální matice. Často se zapisuje jako:

${\displaystyle {\boldsymbol {D}}=\operatorname {diag} (d_{1},d_{2},\dotsc ,d_{n})={\begin{pmatrix}d_{1}&0&\cdots &0\\0&d_{2}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&d_{n}\end{pmatrix}}}$ .

Někdy se uvedený termín používá i pro obdélníkové matice, ale v tomto článku není toto zobecnění uvažováno.

Ukázky

Příkladem reálné diagonální matice řádu 3 je matice:

${\displaystyle \operatorname {diag} (1,4,-3)={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&-3\end{pmatrix}}}$

Speciální diagonální matice

• Jednotková matice je diagonální matice, ve které mají všechny prvky na hlavní diagonále hodnotu 1. Formálně: ${\displaystyle \mathbf {I} _{n}=\operatorname {diag} (1,1,\dots ,1)}$.
• Čtvercová nulová matice je diagonální matice, ve které mají všechny prvky na hlavní diagonále hodnotu 0. Formálně: ${\displaystyle {\boldsymbol {0}}=\operatorname {diag} (0,0,\dots ,0)}$.
• Pokud se všechna čísla na hlavní diagonále diagonální matice shodují, označují se také jako skalární matice.^[1] Skalární matice jsou skalární násobky jednotkové matice ${\displaystyle \alpha \mathbf {I} _{n}=\operatorname {diag} (\alpha ,\alpha ,\dots ,\alpha )}$. Množina nenulových skalárních matic je centrem obecné lineární grupy ${\displaystyle GL_{n}(\mathbb {R} )}$.

Vlastnosti

Každá diagonální matice je symetrická, dolní trojúhelníková a horní trojúhelníková.

• Příslušné diagonální matice tvoří komutativní podokruh okruhu čtvercových matic řádu ${\displaystyle n}$.
• Hodnost diagonální matice je rovna počtu nenulových prvků na diagonále.
• Determinant diagonální matice je součin prvků na hlavní diagonále:

  ${\displaystyle \det \left(\operatorname {diag} \left(d_{1},d_{2},\dotsc ,d_{n}\right)\right)=d_{1}d_{2}\dotsm d_{n}=\prod _{i=1}^{n}d_{i}}$

• Adjungovaná matice k diagonální matice je opět diagonální.
• Diagonální matice jsou symetrické, a proto se nemění transpozicí: ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}^{\mathrm {T} }={\boldsymbol {D}}}$.
• Komplexní diagonální matice jsou normální. Pokud mají reálné prvky, jsou dokonce samoadjungované.

Aritmetické operace

Součet, skalární násobek a součin

Součet, skalární násobek a součin diagonálních matic jsou jednoduché operace:

Součet dvou diagonálních matic je diagonální a platí:

Zdroj:https://cs.wikipedia.org?pojem=Diagonální_matice
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.

---