Bayesova věta (alternativně Bayesova formule, Bayesův vzorec) je věta teorie pravděpodobnosti, která udává, jak podmíněná pravděpodobnost nějakého jevu souvisí s opačnou podmíněnou pravděpodobností.^[1] Poprvé na tuto souvislost upozornil anglický duchovní Thomas Bayes (1702–1761) v posmrtně vydaném článku An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances (1763). Roku 1774 větu znovu objevil francouzský matematik a fyzik Pierre-Simon Laplace, nicméně postupně upadla v zapomnění a rozšířila se až v 2. polovině 20. století.^[2] Frekvenční interpretace pravděpodobnosti se poté nazývá klasická či Laplaceova, právě podle Pierre-Simona Laplace.

Jedno z mnoha použití Bayesovy věty je v oblasti statistické inference (konkrétně Bayesova inference). Věta taktéž položila základy relativně novému směru statistiky – Bayesovská statistika.^[3]

Znění věty

Nechť ${\displaystyle A}$ a ${\displaystyle B}$ jsou náhodné jevy a ${\displaystyle \mathrm {P} (B)\neq 0}$. Potom platí

${\displaystyle \mathrm {P} (A\mid B)={\frac {\mathrm {P} (B\mid A)\,\mathrm {P} (A)}{\mathrm {P} (B)}}}$.

Důkaz

Důkaz věty vychází z definice podmíněné pravděpodobnosti:

${\displaystyle \mathrm {P} (A\mid B)={\frac {\mathrm {P} (A\cap B)}{\mathrm {P} (B)}}}$, pokud ${\displaystyle \mathrm {P} (B)\neq 0}$. Symetricky ${\displaystyle \mathrm {P} (B\mid A)={\frac {\mathrm {P} (A\cap B)}{\mathrm {P} (A)}}}$, pokud ${\displaystyle \mathrm {P} (A)\neq 0}$.

Vyjádřením pravděpodobnosti průniku v obou rovnicích získáváme ${\displaystyle \mathrm {P} (A\mid B)\mathrm {P} (B)=\mathrm {P} (A\cap B)=\mathrm {P} (B\mid A)\mathrm {P} (A)}$. Vyjádřením ${\displaystyle \mathrm {P} (A\mid B)}$ obdržíme Bayesovu formuli:

${\displaystyle \mathrm {P} (A\mid B)={\frac {\mathrm {P} (B\mid A)\mathrm {P} (A)}{\mathrm {P} (B)}}}$, pokud ${\displaystyle \mathrm {P} (B)\neq 0}$.

Alternativní formy Bayesovy věty

Pro všechny alternativní formy Bayesovy věty uvažujme nenulovost jmenovatele.

Rozšířené znění

Mějme náhodné jevy ${\displaystyle A}$ a ${\displaystyle B_{j}}$, pro ${\displaystyle j={1,...,k}}$. Nechť jsou jevy ${\displaystyle B_{j}}$ po dvou disjunktní pro každé ${\displaystyle j}$ a nechť tvoří celý pravděpodobnostní prostor, tedy ${\displaystyle {\sum _{i=1}^{k}\mathrm {P} (B_{i})=1}}$. Potom platí

${\displaystyle \mathrm {P} (B_{j}\mid A)={\frac {\mathrm {P} (A\mid B_{j})\,\mathrm {P} (B_{j})}{\mathrm {P} (A)}}}$.

Využití doplňku

Při počítání s Bayesovou formulí je výhodné znát následující úpravu, jelikož nemusíme znát pravděpodobnost náhodných jevů, nýbrž pouze jejich pravděpodobnosti podmíněné.

Tato formule spočívá ve vhodné úpravě jmenovatele, tedy

${\displaystyle \mathrm {P} (B)=\mathrm {P} (B\mid A)\mathrm {P} (A)+\mathrm {P} (B\mid A^{c})\mathrm {P} (A^{c})}$, kde využíváme vztahu ${\displaystyle B=(B\cap A)\cup (B\cap A^{c})}$.

Po dosazení do původní věty dostáváme

${\displaystyle \mathrm{P}(A\mid <!--\; \mid \; -->B)=\frac{\mathrm{P}(B\mid <!--\; \mid \; -->A)\mathrm{P}(A)}{\mathrm{P}(B\mid <!--\; \mid \; -->A)\mathrm{P}(A)+}}$Zdroj:https://cs.wikipedia.org?pojem=Bayesova_věta
Text je dostupný za podmienok Creative Commons Attribution/Share-Alike License 3.0 Unported; prípadne za ďalších podmienok. Podrobnejšie informácie nájdete na stránke Podmienky použitia.

---